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layout : wiki title : 신호 및 시스템 summary : 2022-1학기 신호 및 시스템 공부 date : 2022-03-15 14:58:52 +0900 lastmod : 2022-06-05 19:08:16 +0900 tags : [lecture] draft : false parent : lectures

Week 1

1-1 자연상수와 오일러 등식

기본 자료

1. 자연 상수(Euler’s number) e의 정의 $$ e = lim_{n-> \infty} ( 1 + \frac{1}{x})^n = 2.71828…$$

• 사용 예:
  1. $$\frac{d}{dx} (e^x) = e^x$$
  • 지수함수 미분시, 자기 자신
  2. $$y = log_e x = ln x \rightarrow y’ = \frac{1}{x}$$
  3. $$ \int_{1}^e \frac{1}{x} dx = 1$$

2. 정현파 (sinusoidal wave)

• 진폭 (amplitude), 주파수 (frequency), 위상 변이(phase shift)
• $$x(t) = A cos(2 \pi f_0 t + \phi) = A cos(w_0t + \phi)$$
• 진폭 : 회전하는 원의 반지름 길이
• 주파수 : 주기의 역수:
  • ex) 0.25 Hz는 4초에 1번 회전
• 각 (agnular, radian) 주파수 : $w = 2 \pi f$ (단위 : rad/s)
  • ex) $2\pi$ rad/s 는 1초에 원을 1번 회전
• 위상 변이 : 원 회전의 시작 위치
  • $$x(t) = A cos(w_0 t + \phi) = A cos(2 \pi f (t + \frac{\phi}{2 \pi f})) = A cos(2 \pi f (t - t_0))$$
    • $t_0$ : time delay
• 정현파의 표현 방법
  1. 시간 함수 : $Acos(2\pi f t + \phi)$
  2. 회전 벡터: $(X, Y) = (A cos \phi, A sin \phi)$
  3. 복소수 표현 : $(X, Y) = X + iY = A cos \phi + i A sin \phi$
  4. 극좌표계 표현 : $A \angle \phi$
• 오일러 공식을 이용한다면 $A e^{i \phi}$ 또는 $A \angle \phi$

복소수 표현

• 직각 좌표형 : $x + iy$ -> 직각 좌표계를 이용
• 극(polar) 좌표형: $r \angle \theta$ -> 원점과의 거리와 가로축과의 각도로 표현

오일러 등식

• Property 1.

  • $$\begin{aligned} f(x_1) \times f(x_2) &= (cos x_1 + i sin x_1)(cos x_2 + i sin x_2) \ &= cos x_1 cosx_2 - sinx_1 sinx x_2 + i(sinx_1 cosx_2 + cos x_1 sin x_2) \ &= f(x_1 + x_2) \end{aligned}$$

• Property 2.

  • $${f(x) }^2 = f(2x)$$

• Property 3.

  • $$\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{f(x)} \times \frac{f(-x)}{f(-x)} = \frac{f(-x)}{f(0)} = f(-x)$$

• Property 4.

  • $$f(0) = 1$$

• Property 5.

  • $$f’(x) = if(x)$$

• $$e^{ix} = cos x + i sin x$$

유도과정

• 원점으로부터 거리가 $1$, 실수축과의 각도가 $\theta$ rad인 복소수 : $z = cos \theta + i sin \theta$

• $z$ 를 $\theta$에 대해 미분하면,

  • $$\begin{aligned} \frac{dz}{d\theta} &= - sin \theta + i cos\theta \ &= i^2 sin \theta + i cos \theta \ &= i (cos \theta + i sin \theta) \end{aligned}$$

• $$\int \frac{1}{z} dz = \int i d \theta \Rightarrow z = i \theta + C$$

• $\theta= 0$인 경우, $$ln(z) = 0 + C = C$$

• $z = cos \theta + i sin \theta$ 에 $\theta = 0$ 을 대입하면 $z = 1$ 이므로 $C = 1$이다.

5. 복소수 사칙 연산

• 직각 좌표형 표현
  • 덧셈/뺄셈 : $z_1 \pm z_2 = (x_1 + i y_1) \pm (x_2 + i y_2) = (x_1 \pm x_2) + i(y_1 \pm y_2)$
  • 곱셈 : $z_1 \times z_2 = (x_1 + i y_1) \times (x_2 + i y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i (x_1 y_2 + x_2 y_1)$
  • 나눗셈 : $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 z_2^*}{\vert z_2 \vert ^2} = \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + i(x_2 y_1 - x_1 y_2)}{x_2^2 + y_2^2}$
  • 오일러 공식 이용
    • 곱셈 : $z_1 \times z_2 = r_1 e^{i \theta} r_2 e^{i \theta_2} = (r_1 r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
    • 나눗셈 : $z_1 / z_2 = \frac{r_1 e^{i \theta_1}}{r_2 e^{i \theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$
    • complex conjugate : $z_1^* = r_1 e^{- i \theta}$

1. 미분 방정식 -> (목적 함수의 최적화, 대상 함수의 추정)

• 독립변수, 종속 변수, 미분식 (종속 변수의 도함수) 과 고차항이 포함된 방정식

• order(계수)와 degree(차수)

  • $y’ + x y^2 = 4$ : first order ordinary differntial equation (DE)
  • $y’’ + 3 x y’ + 4y = 1$: second order differntial quation
  • cf. $\frac{\partial ^ u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} = 0$ : second order partial DE u(x,y)
  • $3x y’ + 5y = 0$ : order 결정하는 미분항의 거듭 제곱수 -> degree = 1
  • $(y’’)^2 + 4 y + 4 = 0$ -> degree = 2

• 선형 미분 방정식 : y가 x의 함수일 때, y의 n차(음이 아닌 정수) 미분항들과 그들의 계수가 상수 또는 독립변수의 선형 조합(다항식) $$a_0 y + a_1 y’ + \cdots + a_n y^{(n)} = g(x)$$ $$a_n(x) \frac{d^n y}{d x^n} + \cdots + a_0 (x) y = h(x)$$

  • 이때 $h(x) = 0$ 이면, homogenous liunear ordinary DE -> non-homogenous LODE의 일반해: $y = y_n + y_p = c_1 y + \cdots + c_n y_n + y_p$
  • $y_n$ : homogenous solution
  • $y_p$ : particular solution

2. 미분방정식의 해

• 정의:
  • $F(x, y, y’, \cdots, y^{(n)}) = 0$
  • $\phi : I \rightarrow \mathbb{R}$
  • $\phi$는 $F$의 해 $\Leftrightarrow \forall x \in I, F(x, \phi(x), \phi’(x), \cdots, \phi^{(n)}(x))=0$
• 예시 1.
  • $\frac{dy}{dx} + y + 1 = 0$
  • $\phi(x) = -1 + c e^{-x}$ (c : 임의의 상수)
  • $\phi’(x) = -ce^{-x}$ 이므로 $$\phi’(x) + \phi(x) + 1 = -ce^{-x} + (-1 + ce^{-x}) + 1 = 0$$
    • $\phi(x)$ 는 $\frac{dy}{dx} + y + 1 = 0$의 해
• 예시 2.
  • $x \frac{dy}{dx} - 2 y = 0$
  • $\phi(x) = c x^2$ (c: 임의의 상수)
  • $\phi’(x) = 2cx$ 이므로 $$ x \phi’(x) - 2 \phi(x) = x(2 c x) - 2cx^2 = 0$$
    • $\phi(x) 는 x\frac{dy}{dx} - 2y = 0$의 해

미분방정식 풀이

• one-degree ordinary DE

  1. separable equation : $y’ = F(x) G(x)$ 형태 -> $\frac{1}{G(y)}dy = F(x)dx$
  • 예제 $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= y^2 e^{-n} \ \frac{1}{y^2}dy &= e^{-x} dx \ -\frac{1}{y} &= -e^{-x} + k_1 \ y &= \frac{1}{e^{-n} + k_2} \end{aligned}$$
  2. linear equation : $y’ + p(x) y = g(x)$ 형태 -> $e^{\int p(x) dx}$를 양변에 곱하고 적분
  • $e^{\int p(x) dx}$ : integrating factor
  • 예제 1 $$\begin{aligned} y’ + y &= x \ e^x y ’ + e^x y &= e^x x \ e^x y &= x e^x - e^x + c \ y &= x - 1 + e^{-x} \end{aligned}$$
  • 예제 2 $$\begin{aligned} y ’ + 2y &= 5 \ e^{2x} y’ + 2 y e^{2x} &= 5e^{2x} \ e^{2x} y &= \frac{5}{2} e^{2x} + C\ y &= \frac{5}{2} + c e^{-2x} \end{aligned}$$
  • 예제 3 $$\begin{aligned} y’ + y & = x^2 \ e^x y’ + e^x y &= e^x x^2 \ e^x y &= x^2 e^x - 2 x e^x + 2 e^x + c \ y &= x^2 - 2x + 2 + c e^{-x} \end{aligned}$$

• two-degree ordinary DE

  • $ay’’ + b y’ + cy = 0$ 형식에 $y=e^{\lambda x}$를 대입

  • $e^{\lambda x} (a \lambda^2 + b \lambda + c) = 0$

  • 특성 방정식 : $a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$

    • 서로 다른 두 실근 : $y_1 = e^{\lambda_1 x}, y_2 = e^{\lambda_2 x}$
      • 일반해 : $y = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$
    • 중근 : $y = c_1 e^{\lambda x} + c_2 x e^{\lambda x}$
    • 서로 다른 두 허근 ($\lambda = \alpha \pm i \beta$) $$\begin{aligned} y &= c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \ &= e^{\alpha x}(c_1 e^{i \beta x} + c_2 e^{-i \beta x}) \ & = e^{\alpha x} (c_1 cost \beta x + c_2 sin \beta x) \end{aligned}$$

  • ex.1 $$y’’ - y’ - 6 y = 0$$

    • $y = e^{\lambda x}$를 대입하면, $e^{\lambda x}(\lambda^2 - \lambda - 6) = e^{\lambda x}(\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$
    • $y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^{-3x}$

  • ex2 $$ y’’ + 11 y’ + 24 y = 0, y(0) = 0, y’(0) = -7$$ $$ e^{\lambda x} (\lambda ^2 + 11 \lambda + 24) = 0$$ $$\lambda = -8 \text{ or } -3$$ $$y(x) = c_1 e^{-8x} + c_2 e^{-3x}$$ $$y(0) = c_1 + c_2 = 0$$ $$y’(0) = -8c_1 + (-3 C_2) = -7$$ $$\rightarrow c_1 = 1.4, c_2 = - 1.4$$ $$ y(x) = 1.4e^{-8x} -1.4 e^{-3x}$$

  • ex3 $$ y’’ + 2y’ + 3 y = 0 \rightarrow \lambda = - 1 \pm i \sqrt{2}$$ $$y = e^{-x}(c_1 cos \sqrt{2} x + c_2 sin \sqrt 2 x)$$

  • ex4 $$y’’ - 4 y’ + 9y = 0, y(0) = 0, y’(0) = -8$$ $$\rightarrow \lambda ^2 - 4 \lambda + 9 = 0, \lambda = \frac{4 \pm i \sqrt{20}}{2} = 2 \pm i\sqrt 5$$

    • 오일러 공식을 이용해서 식 변형 $$y(x) = exp(2x)[c_1 cos (\sqrt 5 x) + c_2 sin(\sqrt 5 x)]$$
    • 초기 조건 대입 $$y(x) = \frac{-8\sqrt 5}{5} exp(2x) sin(\sqrt 5 x)$$

• 미정 계수법(method of undetermined coefficients)

  1. 상수 계수의 non-homogeneous linear DE -> 특수해를 가짐
  2. 얻어진 특수해를 DE에 대입하여 계수를 결정
  • 예: $y’’ - 4 y’ + 3y = x$
    • 특수해를 식해 대입해도 성립함
    • 미정계수 테이블을 이용해 구한다. 예제 식의 경우 $y_p = Ax + B$ 의 형태
    • 풀이
      • $y = e^{\lambda x}$라고 가정하여 대입
      • $\lambda = 1 \text{ or } 3$
      • homogeneous solution : $y_n = c_1 e^x + c_2 e^{3x}$
      • 일반해 : $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^3x + Ax + B$
      • 특수해를 원래 식에 대입하여도 성립하므로, $y_p’=A, Y_p ’’ =0$
      • 이를 다시 원래식에 대입하면 $A = \frac{1}{3}, B = \frac{4}{9}$
      • 일반해 : $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{3x} + \frac{1}{3} x + \frac{4}{9}$

고유값과 고유벡터 (eigenvalues and eigenvectors)

• 행렬 $A$가 $n\times n$의 정방 행렬이고, $x \not = 0$인 벡터 $x \in \mathbb{R}^n$ 존재할때

• 다음 관계를 만족하는 스칼라 $\lambda$를 행렬 $A$의 고유값, 벡터 $\vec x$를 고유 벡터라고 한다. $$A \vec x = \lambda \vec x$$

• 고유값의 계산 $$\begin{aligned} A \vec x &= \lambda \vec x \ A \vec x - \lambda \vec x &= 0 \ (A - \lambda I) \vec x &= 0 \ \Rightarrow \vec x = 0 &\text{ or } (A - \lambda I) \vec x = 0 \end{aligned}$$

  • 동차일차 연립방정식 $M\vec x = 0$ 에서 $\vec x =0$ 이 아닌 해를 얻는 유일한 경우는 $\vert M \vert = 0$ 인 경우
  • 따라서 위 식을 만족하려면 $\vert A - \lambda I \vert = 0$ 일때 $\vec x \not = 0$인 해가 존재
  • 이떄 $\vert A - \lambda I \vert = 0$ 식을 $A$의 특성방정식이라고 부른다.
    • $$\lambda^N + a_1 \lambda^{N-1} + \cdots + a_{N-1} \lambda + a_0 = 0$$
    • $A$는 $n \times n$ 행렬, $\lambda$를 $A$의 고유값
    • N개의 고유값과 고유 벡터를 구할수 있다.
    • 고유벡터로 정의되는 부분 공간을 $A$의 고유 공간이라 한다.

• 기하학적 의미

  • 행렬(선형변환) $A$의 고유벡터는 선형변환 $A$에 의해 방향은 보존되고 스케일만 변화되는 방향벡터를 나타내고, 고유값은 그 고유벡터의 변화되는 스케일 정도를 나타내는 값.

Ch.1. Signal and System

1.1. Continuous-time(C-T) and discrete-time(D-T) signals

1.1.1. Exmaples & mathematical representation

• Signals describe a variety of physical phenomena
  • ex) 전기회로 내 전원과 ㅊapacitor 전압의 시간상 변화패턴, 적용된 힘의 시간상 변화에 의한 자동차 속도, 사람의 대화(acoustic pressure에서의 fluctuation), 영상 내 밝기 값의 variation 패턴
• 신호는 독립변수의 함수로 표현
  • ex:
    • 음성신호 : 시간상의 함수로 acoustic pressure
    • 영상신호 : 2개의 spatial 변수의 함수로 밝기를 표현
• 신호의 종류
  • continuous-time(C-T) signal -> $x(t)$
    • 독립변수가 continuous-time domain에서 정의
    • 신호는 독립변수의 값들의 연속체
      • ex) speech 는 시간의 함수. 대기압은 고도의 함수
        • t : continus-time independent variable
  • discrete-time (D-T) signal -> $x[n]$
    • 독립 변수가 discrete-time domain에서 정의
    • n: discrete-time independent variable, 여기서 n: integer
      • ex) Dow-Janes stock market index, demographic data, successive samples of an underlying phenomeon
    • 표현 방법
      1. 이산 정현파 신호 $$y(t) = Acos(2\pi f t + \phi) \rightarrow y(nTs) = Aws(2 \pi fnTs + \phi)$$ -> $y[n] = A cos(2 \pi fn + \phi)$
      2. 이산 지수함수 $$y(t) = e^t = exp(t) \rightarrow y(nTs) = exp(nTs) \rightarrow y[n] = exp[n]$$
      3. 이산 복소 지수 함수 $$y[n] = e^{jn} = exp[jn]$$
      4. 오일러 공식 $$e^{jn} = cos[n] + j sin[n], cos[n] = \frac{1}{2} (e ^{jn} + e^{-jn})$$ cf. 신호의 종류
    • 정의 신호, 잡음 신호
    • C-T 신호, D-T 신호
    • 결정/확정(deterministic) 신호 : 주기 신호, 비주기 신호(지수 신호)
    • 비결정/비확정 신호 : stationary(통계적 특성이 매우 짧은 시간내 불변), non-stationary
    • 에너지 신호, 전력(power)신호 : 에너지, 전력에 정의되는지 여부에 따라

1.1.2 Signal energy & power (신호의 정량적 표현/비교에 평균값, 최대값 x)

• 에너지(J) : 일을 할 수 있는 능력
• 전력(power, J/s, Watt) : 단위 시간당 생성/전달/소비되는 에너지양(평균 에너지)
• 전기회로의 예
  • v(t), i(t) : 저항값 R의 저항에서 전압과 전류
  • instantaneous power : $p(t) = v(t)i(t) = \frac{1}{R}v^2(t)$
  • total energy expended over the time internval $t_1 \le t \le t_2$ $$ \int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \int_{t_1}^{t_2} v^2(t) dt$$
  • average power over this time interval $$ \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} p(t) dt = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} \frac{1}{R} v^2(t)dt$$

• Signal may describe a variety of physical phenomena

- Signal is a pattern of variation of some form

• Signals are variables that carry information
• Examples of signal
  • Electrical signals : voltages and currents in a circuit
  • Acoustic signals : acoustic pressure (sound) over time
  • Mechanical signals : velocity of a car over time
  • Video signals : intensity level of a pixel (camera, video) over time

How is a Signal Represented?

• Mathematically, signals are represented as a funciton of one or more indepndent variables.
• For instance a black & white viedo signal intensity is dependent on x,y coordinates and time $t : f(x, y, t)$
• We shall be exclusively concerned with signals that are a function of a single variable:time

Continuous & Discrete-Time Signals

• Continuous-Time Signals
  • Most signals in the real world are continuous time, as the scale is infinitesimally fine.
    • ex) voltage, velocity
  • Denote by x(t), where the time interval may be bounded (finite) or infinite
• Discrete-Time Signals
  • Some real world and many digital signals are discrete time, as they are sampled
    • ex) pixels, daily stock price
• Smpaled continuous signal
  • $x[n]=x(nk)$. k is sample time

참고: 전기회로

• 전하, 전류

  • 전하(charge) : 기본 전기량
  • 전하의 최소량: 하나의 전자가 운반하는 전하량 $$q_e = -1.602 \times 10^{-19} \text{C}$$
  • 기본 전하 : 양자 -> 양전하 & 전자 -> 음전하
  • 전류(electric current): 어떤 단면을 단위 시간에 지나가는 전하량 $$i = \frac{dq}{dt} \frac{C}{s}$$
  • 전류가 흐르기 위해서는 폐회로(closed circuit)가 구성되어야함

• 키리히호프 전압법칙(Kirchhoff’s voltage law)

  • 두 점 사이의 전압, 전위차(potential differnce)
    • 서로 다른 두 점 사이의 전하의 이동과 관련된 단위 전하당 총 일
    • 두 점 사이의 전위 에너지(potential energy)
    • 한 점에서 다른 한점으로 전하를 이동시키는데 필요한 에너지
      • $1 volt = \frac{1 joule}{colomb}$
  • 키리히호프 전압법칙
    • 전기회로에서 에너지가 발생 또는 소멸되지 않는 가정
    • source와 관련된 모든 전압의 합은 부하(load) 전압의 합과 같다.

• 전력(power)

  • 단위 시간당 에너지(일)
    • $P = \frac{일}{시간} = \frac{일}{단위전하} \frac{전하}{시간} = 전압\times 전류$

• 회로소자와 전압-전류 특성

  • 키리히호프 전압법칙
    • 소자를 통과하여 흐르는 전류 I, 소자 양단의 전위차(전압) V
    • source와 관련된 모든 전압의 합은 부하 전압의 합과 같다.

• 옴의 법칙 : V=RI

  • 저항(resistor) : $1 \Omega = V/ A$
  • 크기가 R인 저항의 소모 전력 : $P = VI = I^2 R = V^2 / R$

• 직렬저항과 전압분배 법칙

  • 키리히호프 전압법칙 $$V = V_1 + V_2 = IR_1 + IR_2 = I(R_1 + R_2) = IR$$

• Capacitor

  • 전압이 시간의 함수로 변화하면, 전하 분리의 형태로 에너지를 저징
    • 외부 전압에 비례 : $$Q=CV$$
    • RC 회로에서
      • 외부 전압이 시간에 따라 변화하면, 저장된 전하도 변화 $$q(t) = Cv(t)$$ $$i(t) = dq(t) / dt = C dv(t) / dt$$ $$v_R(t) = Ri(t), v_C(T) = \frac{1}{C} \int_{-\infty}^t i(t) dt$$ $$v_R(t) + v_c(t) = v_s(t)$$ $$\therefore Ri(t) + \frac{1}{C} \int _{-\infty} ^t i(t) dt = v_s(t)$$

• energy and power

  • total envery over the time interval $t_1 \le t \le t_2$ in C-T signal $x(t)$ $$\int_{t_1}^{t_2} \vert x(t) \vert ^2 dt$$
    • 여기서 $\vert x(t) \vert$ : 신호 x(t)의 크기 (일반적으로 x(t)는 복소수)
    • time-averaged power는 $$\int_{t_1}^{t_2} \vert x(t) \vert ^2 dt / (t_2 - t_1)$$
  • total energy over the time interval $n_1 \le n \le n_2$ in D-T signal $x[n]$ $$\sum_{n=n_1}^{n_2} \vert x[n] \vert ^2$$
    • interval 상의 average power는 $$\sum_{n=n_1}^{n_2} \vert x[n] \vert ^2 / (n_2 - n_1)$$
  • 무한대의 time interval 상에서
    • total energy 는 위 식의 극한으로 정의 $$E_{\infty} \triangleq {lim}{\tau \rightarrow \infty} \int{-\infty}^{\infty} \vert x(t) \vert ^2 dt = \int {- \infty}^{\infty} \vert x(t) \vert ^2 dt $$ $$E\infty \triangleq {lim}{N \rightarrow \infty} \sum{n = - N}^{N} \vert x[n] \vert ^2 = \sum_{N = -\infty}^{\infty} \vert x[n] \vert ^2$$
      • $x(t), x[n]$이 모든 시간에서 0이 아닌 값ㅡㄹ 갖는 경우
      • $E_\infty$는 합이 수렴하지 않는다. : 무한한 에너지
  • 무한 구간에서 시간 평균 power (time-averaged power over on infinite interval) $$ P_\infty \triangleq {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int{-T}^T \vert x(t) \vert ^2 dt$$ $$ P_\infty \triangleq {lim}{N \rightarrow \infty} \frac{1}{2 N + 1} \sum{n = -N}^{N} \vert x[n] \vert ^2$$
    • ex : $cos 2 pi t$ : 주기 1 $$P_{\infty} = {lim}{T \rightarrow \infty} \int{-T}^{T} cos^2 (2 \pi t) dt = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{4 T} \int{- \infty}^{\infty} { cos(4 \pi t) + 1 }dt$$ $$\frac{1}{4 \pi} \int cos u du = \frac{1}{4 \pi} sin u$$ $$P_{\infty} = {lim}_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{4 T} = \frac{1}{2}$$
  • 주기 신호는 power 신호
  • ex : 신호 $A e^{- t} (t \ge 0)$ 의 에너지의 전력? $$E_{\infty} = \int_{0}^\infty \vert A e^{-1} \vert ^2 dt = \int_{0}^{\infty} A^2 e^{-2t} dt = - \frac{A^2}{2} e^{-2t} \vert 0 ^{\infty} = \frac{A^2}{2}$$ $$P{\infty} = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{E{\infty}}{T} = 0$$
  • 유한한 total energy 가지는 신호는 average power = 0 $$P_{\infty} = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{E\infty}{2T} = 0$$
  • ex) $0 \le t \le 1$ 구간에서는 1. 나머지에서는 0인 신호 $E_{\infty} = 1$ 이고 $P_{\infty} = 0$
  • 유한한 average power 가지는 신호 ($P_\infty > 0$)는 total energy = $\infty$ ex) constant signal $x(t) = 4$ $$P_\infty = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \vert x(t) \vert ^2 dt = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} 16 dt = 16$$ $$E_\infty = \infty$$
  • $P_\infty$와 $E_\infty$ 모두 무한대값을 갖는 신호
  • 정리하면,
    • 에너지 신호 : 유한한 total energy 가지는 신호 $$E_{|infty} < \infty, P_\infty = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{E\infty}{2 T} = 0$$
    • power 신호 : 유한한 평균 power 가지는 신호 $$P_\infty < \infty, P_{\infty} > 0 \rightarrow E_\infty = \infty$$
      • $\exists$ signals for which $P_\infty = \infty$ and $E_\infty = \infty$

• 에제 : D-T 신호와 에너지와 전력 $$x[n] = \begin{cases} (0.5)^n & n \ge 0 \ 2^n & n < 0\end{cases}$$

• 신호의 에너지 $E_\infty \triangleq \sum_{n = -\infty}^{\infty} \vert x[n] \vert ^2$ 이용하면, $$E_\infty = \sum_{n = -\infty}^{-1} (2)^{2n} + \sum_{n = 0} ^ \infty (0.5)^{2n} = \sum_{n = 1}^\infty (0.25)^n + \sum_{n=0}^\infty (0.25)^n = \frac{5}{3}$$

  • 이 신호의 에너지는 유한, 전력은 0

1.2. Transformations of the Independent Variable

1.2.1. Examples of transformations of the indepdnent variable

• time shift
  • $x[n]$과 $x[n - n_0]$는 동일한 shape & displaced (shifted)
  • $x(t - t_0)$:
    • delayed if $t_0$ is positive
    • advanced if $t_0$ is negative
    • ex) $cos2t$를 $t_0$만큼 delay : $t$ 대신 $t-t_0$ 대입
• time reversed : $t$ 대신 $-t$ 대입
• time scaling:
  • 독립변수의 scaling: $x(t), x(2t)$ : 2배속, $x(t/2)$ : 1/2 배속
• affine 변환으로 설명
  • $x(t) \rightarrow y(t) = x(\alpha t + \beta)$
    • $x(t + \beta)$ : $x(t)$ shifted by $- \beta$
    • scaling by $\alpha$
  • $\vert \alpha \vert < 1$ 이면 stretched, $\vert \alpha \vert > 1$이면 선형적 압축
  • $\alpha < 0$ 이면 시간 상에서 reversed, $\beta$ 가 non-zero 면 shift

1.2.2. Periodic signals

• periodic C-T signal $x(t)$는 모든 $t$에 대해 $x(t) = x(t + T)$ $$\exists T \text{s.t. } x(t) = x(t + T) \forall t \overset{def}{\Leftrightarrow} x(t) \text{ is a periodic signal with period }T$$
  • 주기신호는 time shift T에 의해 변화하지 않는다.
  • $x(t)$가 주기 $T$를 가지고 주기적이라면, 모든 $t$와 어떤 정수 $m$에도 $x(t) = x(t + m T)$ : $x($)$ 는 주기 $2T, 3T, \cdots$에 대해서도 주기적
  • $x(t)$의 기본 주기 $T_0$ : 주기가 될수 있는 가장 작은 $T$ 값
  • D-T 신호 $x[n] = x[n + N]$ : $N_0$: 기본 주기

1.2.3. Even and odd signals

• even signal

  • C-T : $x(-t) = x(t)$
  • D-T : $x[-n] = x[n]$

• odd signal

  • $x(-t) = -x(t), x[-n] = -x[n]$

• 임의 신호를 기함수와 우함수 신호로 분리 가능

  • $Ev{ x(t)} = \frac{1}{2} [ x(t) + x(-t)] = x_e(t)$
  • $Od{ x(t) } = \frac{1}{2} [ x(t) - x(-t)] = x_o(t)$

• Signal Properties:

  • Periodic signals: it repeats itself after a fixed period T
  • Even signals: $x(-t) = x(t)$
  • Odd signals: $x(-t) = -x(t)$
  • A signal is (real) exponential if it can be represented as $x(t) = C e^{at}$. A signal is (complex) expoential if it can be represented in the smae form but $C$ and $a$ are complex numbers.
  • A pulse signal is one which is nearly completely zero, apart from a short spike, $\delta(t)$. A step signal is zero up to a certain time, and them a constant value after that time, $u(t)$.

1.3. Exponential Signal & Sinusoidal Signals

1.3.1. C-T- complex exponential & sinusoidal signals

• expoential signal:

  • $x(t) = Ce^{at}$
  • $C$와 $a$가 실수라면, $x(t)$ 는 real exponential signal
    • $a >0$ 이면, $x(t)$ 는 $t$가 증가할수록 증가
    • $a <0$이면, $x(t)$ 는 $t$가 증가할수록 감소

• periodic complex exponential

  • $x(t) = Ce^{at}$ 에서 $a$를 허수로 놓으면

    • $x(t) = C e^{j w_0 t}$
    • 주기적이라면, $e^{j w_0 t} = e^{j w_0(t + T)} = e^{jw_0 t} e^{j w_0 T}$
    • $w_0 = 0$이면, $x(t) = 1$, 어떤 $T$에 대해서도 성립
    • $w_0 \not = 0$이면, $x(t)$의 기본주기 : $T_0 = \frac{2\pi}{\vert w_0 \vert}$ (신호 $e^{j w_0 t}$ 와 $e^{-jw_0t}$는 같은 기본 주기 가정)
    • $x(t)$는 복소 평면에서 크기 $C$인 원주상을 등속도 $w_0$로 회전하는 신호

  • $e^{(a + j w)t} = e^{at} e^{jwt}$

  • $e^{st}$에서

    • $s$ 가 실수이고 양수이면 증가하는 신호
    • $s$ 가 실수이고 음수이면 감소하는 신호
    • $s$ 가 허수이면 진동하는 신호
    • $s$ 가 복소수이면 증가/감소하며 진동하는 신호

  • 주기적 복소지수 신호 -> 정현파 신호 $x(t) = A cos(w_0 t + \phi)$

• 오일러 관계 ($e^{jw_0t} = cos w_0 t + j sin w_0 t$)로부터

  • $A cos(w_0t +\phi) = \frac{A}{2} e^{j \phi} e^{j w_0 t} + \frac{A}{2} e^{- j \phi} e^{-j w_0 t}$ : 정현파 신호는 주기적인 복소지수항으로 표현 가능
  • $A cos(w_0 + \phi) = A Re(e^{j(w_0 t + \phi)})$
  • $A sin(w_0 + \phi) = A Im(e^{j(w_0 t + \phi)})$

• $x(t) = e^{jw_0 t}$ (복 소 주기 지수 신호)에 대해 $$E_{period} = \int_0^{T_0} \vert e^{j w_0 t} \vert ^2 = \int_0 ^{T_0} 1 dt = T_0$$ $$P_{period} = \frac{1}{T_0} E_{period} = 1$$ $$P_{\infty} = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int{-T}^{T} \vert e^{jw_0t} \vert ^2 dt = 1$$

• 복소 지수 $e^{jwt}$가 주기 $T_0$를 가지며 주기적이기 위해 필요조건은 $e^{jwT_0} = 1$ -> $wt_0$가 $2\pi$의 곱 : $wT_0 = 2 \pi k$, $k= -, \pm 1, \pm 2, \cdots$

  $w_0 = \frac{2 \pi}{T_0}$ 로 정의하면, 위 식을 만족시키기 위해서 $w$는 $w_0$의 정수배 -> 고조파(주기를 공유하는 정현파들의 모음)의 복소지수 집합 $\phi_k(t) = e^{jkw_0t}, k=0, \pm 1, \cdots$ : $w_0$의 모든 배수인 기본 주파수를 가지는 주기적인 지수 집합

• $k=0$이면 $\phi_k(t)$는 상수:

  • $k \not = 0$ 인 k에 대해 $\phi_k(t)$는 기본주파수 $\vert k \vert w=_0$, 기본주기 $\frac{2 \pi}{\vert k \vert w_0} = \frac{T_0}{\vert k \vert}$ 를 갖는 주기 신호

• 예제 1.5 : 두 개의 복소지수의 합을 하나의 복소지수와 하나의 정현파 신호의 곱으로 표현:

  • $$\begin{aligned} x(t) &= e^{j2t} + e^{j3t} \ &= e^{j2.5t} (e^{e^{-j0.5t} + e^{j0.5t}}) = 2e^{j2.5t} cos(0.5t) \ \vert x(t) \vert &= 2 \vert cos(0.5t) \vert \end{aligned}$$
  • 전파 정류 정현파 신호

• 일반적인 복수 지수 신호:

  • 실수지수와 주기적 복소지수를 이용해 해석/표현
  • $Ce^{\alpha t}$ -> $C$는 극좌표 형식($C = \vert C \vert e^{j\theta}$), $\alpha$ 는 직교좌표 형식($a=r + j w_0$) 표현
  • $$\begin{aligned} Ce^{e \alpha t} &= \vert C \vert e^{j\theta} e^{r + j w_0)t} = \vert C \vert e^{rt} e^{j(w_0 t + \theta)} \ &= \vert C \vert e^{rt} cos(w_0 t + \theta) + j \vert C \vert e^{rt} sin(w_0 t + \theta)\end{aligned}$$
  • $r = 0$이면, 복소지수의 실수와 허수 부분은 정현파
  • $r > 0$이면, 증가하는 지수가 곱해진 정현파
  • $r < 0$이면, 감소하는 지수가 곱해진 정현파

1.3.3. Periodicity properties of D-T complex exponentials

• $w_0 + 2 \pi$ 주파수를 가지는 D-T 복소지수:

  • $$e^{j(w_0 + 2 \pi)n} = e^{j 2 \pi n} e^{j w_0 n} = e^{jw_0 n}$$
  • 위 특성으로 $e^{j w_0 n}$ 은 $w_0 = \pi$ 될 때까지 진동 증가하다가 $w_0 = 2\pi$ 될때까지 감소
  • $w_0 + 2 \pi$인 지수는 주파수 $w_0$와 같다. -> $2 \pi$의 주파수 구간만 고려
  • $e^{jw_0 n}$ 에 대해 $w_0 = \pi$와 홀수배의 경우:
    • $e^{j\pi n} = (e^{j \pi})^n = (-1)^n$ -> 시간의 각 지점에서 부호 바뀌며 진동
  • $e^{j w_0 n}$의 주기가 $N(N>0)$ 이기 위해서는
  • $$e^{jw_0 (n + N)} = e^{j w_0 n} \rightarrow e^{j w_0 N} = 1$$
  • 위 식이 성립하려면, $w_0 N = 2 \pi m$ (m은 정수)
    • $x[n]$이 기본 주기 $N$을 갖고 주기적이라면, 기본 주파수는 $\frac{2 \pi}{N}$
    • 즉, 주기신호 $e^{j w_0 n}$ 의 기본 주파수 : $\frac{2 \pi}{N} = \frac{w_0 }{m}$

• 예제 1.6 : 다음 D-T 신호의 기본 주기는?

  • $$x[n] = e^{j(2 \pi / 3) n} + e^{j(3 \pi/4)n}$$
  • 각각의 기본주기는 3과 8이므로 24가 기본주기이다.

• 고조파와 관련된 (공통 주기 N을 갖는) 주기적인 D-T 지수 신호

  • $$\phi_k[n] = e^{j k(2 \pi/N) n}, k = 0, \pm 1, \cdots$$
  • $$\phi_{k + N}[n] = e^{j (k + N) (2 \pi / N) n} = \phi_k[n]$$
  • 구별되는 주기 지수들은 N개 존재

1.4. Unit impluse and unit step function

1.4.1. D-T unit impulse & unit setp sequences

• 단위 임펄스(단위 샘플) 신호:
  • $$\delta[n] = \begin{cases} 0, & n \not = 0 \ 1, & n = 0 \end{cases}$$
• 단위 계단 신호:
  • $$u[n] = \begin{cases} 0, & n < 0 \ 1, & n \ge 0 \end{cases}$$
• $$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$$
• $$u[n] = \sum_{m = - \infty}^{n} \delta[m]$$
• 단위 임펄스 순차열은 $n = 0$에서 신호를 샘플링하기 위해 사용:
  • $$x[n]\delta[n] = x[0]\delta[n]$$
  • 일반적으로, $n=n_0$에서 단위 임펄스 $\delta[n - n_0]$의 경우:
    • $$x[n]\delta[n - n_0] = x[n_0] \delta[n - n_0]$$

1.4.2. C-T unit setp & unit impluse functions

• C-T 단위 계단 함수:

  • $$u(t) = \begin{cases} 0, & t < 0 \ 1, & t > 0\end{cases}$$
  • $u(t)$ 의 total energy : $\infty$, power : ${lim}{T \rightarrow 2T} \frac{1}{2T} \int{-T}^T u(t)dt = {lim}{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int{0}^T 1 dt = \frac{1}{2}$$
  • $u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d \tau$ : 단위 임펄스 함수의 연속 적분
  • $\delta(t) = \frac{d u(t)}{dt}$ : C-T 단위 계단함수의 일차 도함수

• $u(t)$는 $t=0$에서 불연속 -> 미분 불가능 문제:

  • 단위 계단 $u_\Delta(t)$로 근사 : 짧은 시간 구간 동안에 그 값이 0에서 1로 증가:
    • $u(t)$는 $\Delta \rightarrow 0$과 같이 $u_\Delta (t)$의 극한을 취합
    • $u_\Delta(t)$의 미분 $\delta_\Delta(t) = \frac{d u_\Delta(t)}{dt}$를 고려하면, $\delta_\Delta(t)$ 는 구간 $\Delta$ 에서 단위 면적을 갖는 짧은 펄스
    • $\Delta \rightarrow 0$ 일 때, 면적은 일정하게 유지(폭은 좁아지고 길이는 길어짐) -> 면적만 가지고 두께는 없음
    • $$\delta_\Delta(t) = {lim}{\Delta \rightarrow 0}\delta\Delta(t)$$
  • 임펄스 $u \delta(t)$는 면적이 $u$
  • D-T에서와 마찬가지로 적분변수 $\tau$ 를 $\sigma = t - \tau$로 바꾸면:
    • $$u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) d\tau = \int_{0}^\infty \delta(t - \sigma) d \sigma$$

• 샘플링 특성:

  • 임펄스와 C-T 신호 $x(t)$의 곱 : $x_\cdot (t) = x(t) \delta_\Delta(t)$:
    • $\Delta$가 충분히 작기 때문에 $x(t)$는 거의 일정한 값이고, 극한 값이므로 : $x(t) \delta(t) = x(0) \delta(t)$
  • $t_0$의 임펄스인 경우 : $x(t) \delta(t - t_0) = x(t_0) \delta(t - t_0$)$
  • sampling property:
    • $$\int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - \sigma) d t = x(\sigma) \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - \sigma) dt = x(\sigma)$$

1.5. C-T and D-T system

• 시스템 : 입력 신호가 시스템에 의해 변환 또는 입력 시스템에 대해 시스템의 응답을 출력:
  • 예시 : 음성 녹음에서의 톤 변화, 전기 회로, 자동차
  • C-T system : $x(t) \rightarrow y(t)$
  • D-T system : $x[n] \rightarrow y[n]$

1.5.1. Simple examples of systems

• RC 전기회로의 예 (저항, 전류, 전압)
• 자동차의 속력의 예 (가속도, 속도, 위치)

1.5.2. Interconnections of systems

• 두 시스템의 직렬 or casecade 상호 연결:
  • 전파 -> 라디오 수신 -> 증폭
• 병렬 상호 연결:
  • 여러 마이크가 연결된 하나의 증폭기와 스피커
• 직렬-병렬 상호 연결
• 피드백 상호 연결

1.6

1.6.1 Systems with & without memory

• memoryless 시스템:
  • 주어진 시간에서 독립 변수 각각의 값에 대한 출력이 같은 시간의 입력에만 의존
• 항등(identity) 시스템 : $y(t) = x(t)$, $y[n] = x[n]$
• 시스템에서 memory : 현재 이외의 시간 입력을 저장/유지:
  • memory D-T 시스템
  • memory C-T 시스템

1.6.2. Invertiblity & inverse systems

• invertibility -> 인코딩/디코딩:
  • $$x \rightarrow y \text{ is invertible } \overset{def}{\Leftrightarrow} \exists \text{ an inverse system } : y \rightarrow w \text{ s.t. } w= x$$
• non-invertible system

1.6.3. Casuality

• casuality : 어떤 시간에서의 출력이 현재와 과거의 입력값들에만 의존:

  • 두 개의 입력이 어떤 시간($t_0$ or $t_n$)까지만 주어지면, 출력도 같은 시간까지 동일
  • 독립 변수가 시간이 아닌 경우(영상처리), 인과성은 필수 조건이 아님
  • 높은 변동성 데이터 처리 -> 변동을 부드럽게 + 추이를 유지하기 위해 구간내 평균계산

• 예제 1.12 : 시스템의 인과성 검사:

  • $y[n] = x[-n]$:
    • 양의 시간 $n_0$에서 출력 $y[n_0]$은 입력신호 $x[-n_0]$에 의해 결정
    • 여기서 시간 $-n_0$은 음의시간 -> 인과적
    • $n < 0$ 인 경우, 미래의 입력에 의해 출력 결정
  • $y(t) = x(t) cos(t + 1)$:
    • 시간 t에서 출력은 같은 시간의 입력에 따라 변화하는 수를 곱한 결과와 같음

1.6.4. Stability

• Stable system : 작은 입력에 대해 출력이 발산하지 않음. 제한된 입력에 제한된 출력

1.6.5. Time invariance

• time invariance : 시스템 특성이 시간에 대해 고정
• S: $x[n] \rightarrow y[n], x(t) \rightarrow y(t)$
• invariant S : $x[n - n_0] \rightarrow y[n - n_0], x(t - t_0) \rightarrow y(t - t_0)$
• a system : $x(t) \rightarrow y(t)$ is time invariant = $x(t - t_0) \rightarrow y(t - t_0), \all t_0$

1.6.6. Linearity

• 입력이 여러 신호의 가중치 합으로 구성된 신호라면, 출력은 각 신호에 대한 응답의 중첩(가중치의 합)
• 조건:
  • 입력 $x_1(t), x_2(t)$에 대한 C-T 시스템 응답이 $y_1(t), y_2(t)$일 때:
    • $x_1(t) + x_2(t)$ 에 대한 응답: $y_1(t) + y_2(t)$ : additivity
    • $ax_1(t)$에 대한 응답: $ay_1(t)$, 여기서 a는 임의의 복소 상수 : scaling or homogeneity
  • 위 두가지 특성을 한 문장으로 표현하면:
    • C-T : $ax_1(t) + b x_2(t) \rightarrow ay_1(t) + by_2(t)$
    • D-T : $ax_1[n] + b x_2[n] \rightarrow ay_1[n] + b y_2[n]$
    • $x[n] = \sum_k a_k x_k[n]$ 에 대한 응답 : $y[n] = \sum_k a_k y_k[n]$ : 중첩 특성
  • 선형 시스템은 모든 시간에서 0을 입력하면 출력은 0 : $0 = 0x[n] \rightarrow y[n] = 0$

Ch.2. Linear Invariant System

2.0 Introduction

• LTI 시스템의 입력을 기본적 신호들 집합으로 선형 합성으로 표현할 수 있다면, 그 시스템의 출력은 기본적 신호들에 대한 응답의 합을 중첩하여 계산 가능
• 일반적인 신호들을 지연된 임펄스들의 선형적인 합으로 표현 가능
• 중첩, 시불변 특징과 함께 단위 임펄스에 대한 응답들로 LTI 시스템의 특성을 알 수 있음:
  • D-T에서는 convolution sum, C-T 에서는 convolution integral

2.1. D-T LTI systems : Convlution sum

2.1.1. Representation of D-T signals in terms of impulses

• D-T 신호를 각 임펄스들의 순차열로 표현 $$x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty x[k] \delta[n - k]$$
• D-T unit impulse의 shifting property, convolution sum of D-T LTI system

2.1.2. D-T unit impulse response & convolution-sum representation of LTI systems

• $x[n]$을 간단한 elementary 함수의 scaled version의 superposition으로 표현:
  • $x[n]$의 선형 시스템 응답 : 이동된 각 임펄스에 대한 시스템의 scaled response들의 중첩
  • 시간 변위된 단위 임펄스에 대한 시불변 시스템의 응답은 단순히 시간 이동된 결과
• 입력 $x[n]$에 대한 선형 시스템 응답:
  • $\sum_{k = - \infty}^\infty x[k] \delta[n - k]$ : 입력을 이동된 단위 임펄스들의 조합으로 표현
  • $h_k[n]$을 이동된 단위 임펄스 $\delta[n - k]$에 대한 선형 시스템의 응답이라고 하면, $y[n]$은 기본 응답들의 가중치 선형 조합
  • $y[n] = \sum_{k=-infty}^{\infty} x[k] h_k[n]$
    • 이동된 단위 임펄스 집합에 대한 선형 시스템의 응답을 알면, 임의 입력에 대한 응답 생성
• $x[n] \sum_{k} a_k x_k[n]$ 에 대한 응답 : $y[n] = \sum_k a_k y_k[n]$
• 선형 + 시불변 시스템이라면, 시간 이동된 단위 임펄스에 대한 응답들은 원래 응답이 시간 이동된 것:
  • $\delta[n - k]$는 $\delta[n]$의 시간이동 -> 응답 $h_k[n]$은 $h_0[n]$의 시간이동.
  • $h_k[n] = h_0[n - k]$ 모든 $h_k[n]$은 필요 없다. time-invraint 성질로 $h_0[n - k]$만 필요하다.
• 단위 임펄스(샘플) 응답 : $h[n] = h_0[n]$ : time-invariant이므로 굳이 zero일 필요 없음.
  • $y[n] = \sum_{k= - \infty}^\infty x[k]h[n] = \sum_{k = -\infty}^\infty x[k] h[n - k]$
  • convolution sum, superposition sum
  • $y[n] = x[n] * h[n]$
• C-T 신호 $x(t)$를 펄스 또는 계단식 근사(staricase approximation) $\hat x(t)$라고 간주:
  • 지연된 펄스들의 선형결합으로 표현:
    • $$\delta_\Delta (t) = \begin{cases} \frac{1}{\Delta}, & 0 \le t < \Delta \ 0 , & otherwise\end{cases}$$
    • $\hat x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty x(k \Delta) \delta_\Delta (t - k \Delta) \Delta$
  • $\Delta \rightarrow 0$ 에 따라 $\hat x (t)$의 근사는 $x(t)$와 같아짐:
    • $$x(t) = {lim}{\Delta \rightarrow 0} \sum{k = - \intfy}^{\infty} x(k \Delta) \delta_\Delta(t - k \Delta) \Delta$$
  • $x(t) = u (t)$ 라면,:
    • $$u(t) = \int_{-\infty}^\infty u(\tau) \delta(t - \tau) d \tau = \int_0^\infty \delta( t - \tau) d \tau$$
    • $\delta(t - \tau)$는 $\tau$의 함수

2.2.2 C-T unit impulse reponse & convolution integral representation of LTI systems

• $\hat x(t) = \sum_{k= - \infty}^\infty x(k \Delta) \delta_\Delta (t - k \Delta) \Delta$ 에서 신호 $\hat x(t)$는 기본 펄스 신호 $\delta_\Delta(t)$의 scaled & shifted sum으로 표현
• 이 신호는 선형 시스템 응답 $\hat y(t)$는 $\delta_\Delta(t)$의 scaled & shifted version에 대한 응답들의 중첩
• $\hat h_{k\Delta} (t)$를 입력 $\delta_\Delta(t - k \Delta)$에 대한 LTI 시스템의 응답으로 정의하면:
  • $$\hat y(t) = \sum_{k = - \infty}^\infty x(k \Delta) \hat h_{k \Delta}(t) \Delta$$
  • $\Delta \rightarrow 0$에 따라 $\hat x(t), \hat y(t)$는 각각 $x(t), y(t)$에 근사

2.3 Properties of linear time-invariant systems

• Convolution sum & integral:
  • $$y[n] = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] = x[n] * h[n]$$
  • $$y(n) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d \tau= x(t) * h(n)$$

2.3.1. Commutative property (컨벌루션 연산의 기본적 성질)

• in D-T, $x[n] * h[n] = h[n] * x[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k]x[n - k]$
• in C-T, $x(t) * h(t) = h(t) * x(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t)x(t - tau)d\tau$

2.3.2. Distributive property

• in D-T, $x[n]* (h_1[n] + h_2[n]) = x[n]* h_1[n] + x[n] * h_2[n]$
• in C-T, $x(t) * (h_1 (t) + h_2(t)) = x(t) * h_1(t) + x(t) * h_2(t)$
• 교환/결합 법칙 결과로부터 두 입력의 합에 대한 LTI 시스템 응답은 각 신호에 대한 응답의 합과 같음

2.3.3. Associative property

• in D-T, $x[n] * (h_1[n] * h_2[n]) = (x[n]* h_1[n]) * h_2[n]$
• in C-T, $x(t) * (h_1(t) * h_2(t)) = (x(t) * h_1(t)) * h_2(t)$

2.3.4. LTI systems with & without memory

• memoryless 시스템 : 시스템 출력이 동일 시간의 입력에만 의존:

2.3.5. Invertibility of LTI systems

• 원래 시스템에 직렬로 연결된 하나의 inverse 시스템이 존재하며, 원래 시스템의 입력과 동일한 출력을 생성

2.3.6. Causality of LTI systems

• 인과적 시스템의 출력은 연재와 과거의 입력에 대해서만 영향받음.
• 인과적 D-T LTI 시스템 : $y[n]$은 $k > n$에서의 $x[k]$에 영향 받지 않음.
• 인과적 LTI 시스템에서 convolutional sum은 다음과 같이 표시됨 $$y[n] = \sum_{k = 0}^\infty h[k] x[n - k]$$
• C-T LTI 시스템의 경우, $h(t) = 0$

2.3.7 Stability for LTI systems

• 제한된 모든 입력에 대해 제한된 출력
• 이 입력을 단위 임펄스 응답이 $h[n]$인 LTI 시스템에 가하면,
  • $$\vert y[n] \vert = \vert \sum_{k = -\infty}^\infty h[k] x[n - k] \vert$$
  • $$\vert y[n] \vert \le \Beta \sum_{k=- \infty}^\infty \vert h[k] \vert$$

2.4. Causal LTI systems described by differential & difference equations

• C-T(D-T) 에서 입력-출력 관계가 선형 상미분(차분) 방정식으로 표현됨

2.4.1. Linear constant-coefficient differential equations

• 입력 $x(t)$, 출력 $y(t)$의 일차 미분방정식을 고려
• 입력 $x(t)$에 대한 응답은 DE의 특수해와 고유해의 합으로 구성:
  • 고유해 : 입력이 0일때의 DE의 해 = natural response(자연 응답)으로도 불림
  • 시스템의 입력-출력의 완전환 관계를 결정하기 위해 부가조건(초기 조건) 필요
• N차 선형 계수 DE로 확장 $$\sum_{k=0}^N a_k \frac{d^k y(t)}{d t^k} = \sum_{k=0}^M b_k \frac{d^k x(t)}{d t^k}$$
  • 차수 : 출력 $y(t)$의 가장 많이 미분된 항의 미분 횟수

2.4.2. Lienar constant-coefficient difference equations

• D-T 에서 N차 선형 상계수 차분 방정식으로 표현 $$\sum_{k=0}^N a_k y[n - k] = \sum_{k=0}^M b_k x[n - k]$$

2.5. Singularity functions

2.5.1. Unit impulse as idealized short pulse

• 단위 임펄스 $\delta(t)$ : 항등 시스템의 임펄스 반응 $$x(t) = x(t) * \delta(t)$$ $$r_\Delta(t) = \delta_\Delta(t) * \delta_\Delta (t)$$
• 단위 임펄스를 $\Delta \rightarrow 0$인 $\delta_\Delta(t)$의 극한 형태로 정의하면, 많은 신호들이 극한에서 단위 임펄스처럼 행동 $${lim}{\Delta \rightarrow 0} x(t) * p\Delta(t) = x(t) \ \rightarrow {lim}{\Delta \rightarrow 0} p\Delta (t) = \delta(t)$$ $$x(t) * \delta(t) * \delta(t) = x(t) * \delta(t) = x(t)$$

2.5.2. Defining the unit impulse through convolution

• 충분히 작은 $\Delta$에 대해 신호 $\delta_\Delta (t), r(t), r_\Delta(t) * \delta_\Delta(t), r_\Delta (t) * r_\Delta (t)$ 등은 모두 LTI 시스템에 적용될 때 임펄스처럼 동작
• $\Delta \rightarrow 0$에 따라 $\delta_\Delta(t), r_\Delta(t)$ 등의 신호가 모두 극한 조건에서 단위 임펄스 신호와 같이 행동, 이 신호들이 $\delta(t)$를 대신하면, $x(t) = x(t) * \delta(t)$는 극한조건에서 만족
• 단위 임펄스 신호의 특성을 확인:
  • $$1 = x(t) = x(t) * \delta(t) = \delta(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau)x(t - \tau) d \tau = \int_{- \infty}^\infty \delta(\tau) d \tau$$
  • 즉, 단위 임펄스 신호는 단위 면적을 가진다.

3.

3.0 Introduction

• 컨벌루션 합에 LTI 시스템 표현/분석은 시간 변위된 임펄스의 선형결합으로 표현된 신호를 바탕으로 함:
  • 신호와 LTI 시스템의 표현 방법을 임의 신호를 일련의 기본신호의 선형결합으로 발전
  • 복소 지수 함수의 사용
  • 중첩의 정리 : 기본 신호의 선형 결합으로 구성된 임의 입력에 대한 LTI 시스템의 응답은 각각의 기본 신호의 응답의 선형결합과 같음 : 이동된 단위 임펄스 응답.

3.1. Histroical perspective

• 진동하는 실선(현)의 기본 형태(normal modes):
  • 시간 t, 현에서의 거리 x -> 수직편향 $f(t, x)$
  • 임의 시간 t에서 기본형태는 조화적으로 관련된 (hormonically relacted) x의 정현(sinusoidal) 함수
  • 임의 시점에서 진동하는 현의 형태가 기본형태의 선형결합이라면, 이후의 시간에서도 마찬가지다 : 미래 한시점의 선형 결합의 계수를 과거 시점의 계수로 계산 가능
• LTI 시스템의 입력이 주기적인 지수함수나 정현파의 선형결합으로 표현된다면, 이들 입력의 계수를 가지는 형태로 출력을 표현
• 교류 전원과 전압/전류, 이에 따른 회로의 LTI 시스템의 응답 등

3.2. Response of LTI systems to complex exponentials

• 임의 신호를 다음 성질을 가지는 기본(basic) 신호의 선형결합으로 표현:
  1. 기본 신호들은 광범위하고 유용한 신호를 생성하는데 사용될 수 있어야함.
  2. 각 기본 신호에 대한 LTI 시스템의 응답은 이 신호들의 선형결합으로 구성된 임의신호에 대한 시스템 응답이 편리하게 표현되도록 구조상 간단
• 복소지수 신호가 위 성질을 만족:
  • in C-T, $e^{st}$
  • in D-T, $z^n$
• LTI 시스템에서 복소지수의 중요성:
  • 복소지수 입력에 대한 LTI 시스템의 응답은 단지 진폭만 변화할 뿐 같은 복소지수를 가짐
  • in C-T : $e^{st} \rightarrow H(s) e^{st}$
  • in D-T : $z^n \rightarrow H(z) z^n$
  • eigenfunction(고유함수) : 시스템의 출력이 상수배(복소 상수도 가능)가 되는 신호
  • eigenvalue(고유치) : 진폭항
• 복소지수가 LTI 시스템의 고유함수임을 보이기 위해, 임펄스 응답 $h(t)$ 인 LTI 시스템을 고려:
  • 입력 : $x(t) = e^{st}$
  • 출력 : $y(t) = \int_{- \infty}^{\infty} h(\tau) x(t - \tau) d \tau = \int_{-\infty}^\infty h(\tau) e^{s(t - \tau)} d \tau$
    • $y(t) = e^{st} \int_{-\infty}^\infty h(\tau) e^{- s \tau} d \tau$
  • 출력식의 우변 적분이 수렴하면, $y(t) = H(s) e^{st}$
  • $H(s)$ 는 복소 상수이며, 시스템의 임펄스 응답과의 관계는:
    • $H(s) = \int_{-\infty}^\infty h(\tau) e^{- s \tau} d \tau$
    • 복소지수가 LTI 시스템의 고유함수, H(s)는 고유함수 $e^{st}$의 고유값
• 임펄스 응답이 $h[n]$인 LTI 시스템:
  • 입력 : $x[n] = z^n$ : eigenfunction
  • 출력 : $y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k] x[n - k] = z^n \sum_{k = -\infty}^\infty h[k] z^{-k}$
    • $y[n] = H(z) z^n$
    • $H(z) = \sum_{k = -\infty}^\infty h[k] z^{-k}$ : eigenvalue
    • 복소지수 D-T LTI 시스템의 고유함수, $H(z)$는 고유함수 $z^n$의 고유값
• LTI 시스템에서 임의 신호를 고유함수로 표현된 일반적인 신호로 분해하여 해석하는 것이 편리:
  • D-T LTI 시스템의 입력을 복소지수의 선형결합으로 표현 : $x[n] = \sum_k a_k z_k^n$
    • 출력 : $y[n] = \sum_k a_k H(Z_k)Z_k^n$
  • C-T/D-T LTI 시스템의 입력이 복소지수의 선형결합으로 표현된다면, 출력도 같은 복소 지수 신호의 선형결합으로 표현된다.
    • 고유 함수 $e^{st}$ 또는 $Z_k^n$ 과 관련있는 시스템의 고유값 $H(S_k)$ 또는 $H(Z_k)$와 입력 계수 $a_k$와의 곱으로 계산됨.
  • 위에서 $S$와 $Z$가 임의의 복소수가 가능하지만, 푸리에 해석은 특정한 형태로 제한:
    • C-T에서 $S= jw \rightarrow e^{jwt}$
    • D-T에서 $Z= e^{jw} \rightarrow e^{jwn}$

3.3. Fourier series representation of C-T periodic signals

3.3.1. Linear combinations of harmonically related complex exponentials

• 주기 신호 : 양의 값 $T$에 대해 $x(t) = x(t + T) \forall t$:
  • $x(t)$의 기본주기는 위 식을 만족시키는 0이 아닌 양의 최소값
  • 기본 주파수 : $w_0 = 2 \pi / T$
  • 정현파 $x(t) = cos w_0 t$, 주기 복소 지수 $x(t) = e^{j w_0 t}$는 기본 주파수 $w_0$, 기본 주기 $T= 2 \pi /w_0$ 가지는 주기적인 신호
  • 복소지수 신호 $x(t) = e^{jw_0t}$ 와 조화적으로 관련된 복소지수:
    • $\phi_k(t) = e^{jkw_0t} = e^{jk(2 \pi / T) t}$
    • $\phi_k$ : harmonically related signals of common period T
    • 각 신호는 $w_0$의 곱인 기본 주파수를 가지므로 각각은 주기 T인 주기적 신호
  • 다음의 조화적으로 관련된 복소지수의 선형결합을 얻을 수 있음:
    • $x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_ke^{jkw_0t} = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k e^{jk(2 \pi / T) t}$
    • 주기신호를 $\phi_k(t)$의 선형도합으로 표현 : 푸리에 급수 표현법(주기신호를 푸리에 급수로 표현)
    • 주기 $T$로 주기적이며, 여기서 $k=0$인 항은 상수항
    • $k= \pm 1$일 때, 두항의 기본주파수는 $w_0$ : 기본파항, 제1고조파항
    • $k= \pm 2$일 때, 주기가 기본파항의 1/2(주파수는 2배) : 제2 고조파항
    • $k= \pm N$일 때, N 고조파항
• $x(t)$가 실수이고, 푸리에 급수 형태로 표시될 수 있다고 가정하면,:
  • $x(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k^* e^{-jkw_0t}$를 얻으며, 이를 푸리에 급수 표현으로 비교하면 $a^* = a_{-k}$ 이다.